Поєднання букв, знаків і цифр у математичних операціях відоме як алгебраїчні вирази. Зазвичай букви представляють невідомі величини і називаються змінними або невідомими. Алгебраїчні вирази дозволяють перекладати вирази математичної мови звичайної мови. Алгебраїчні вирази виникають із обов'язку перекласти невідомі значення в цифри, які представлені буквами. Галуззю математики, відповідальною за вивчення цих виразів, у яких з’являються цифри та літери, а також ознаки математичних операцій, є Алгебра.
Що таке алгебраїчні вирази
Зміст
Як вже згадувалося раніше, ці операції є не що інше, як поєднання букв, цифр і знаків, які згодом використовуються в різних математичних операціях. В алгебраїчних виразах букви мають поведінку цифр, і коли вони беруть цей курс, використовується від однієї до двох букв.
Незалежно від виразу, який у вас є, перше, що потрібно зробити, це спростити, це досягається за допомогою властивостей операції (операцій), еквівалентних числовим властивостям. Щоб знайти числове значення алгебраїчної операції, потрібно підставити літеру певною цифрою.
За цими висловами можна зробити багато вправ, які будуть виконуватися в цьому розділі для поліпшення розуміння предмета.
Приклади алгебраїчних виразів:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Алгебраїчна мова
Алгебраїчна мова - це та, яка використовує символи та букви для представлення цифр. Його основна функція полягає у створенні та структуруванні мови, яка допомагає узагальнити різні операції, що відбуваються в арифметиці, де трапляються лише числа та їх елементарні арифметичні операції (+ -x%).
Алгебраїчна мова спрямована на створення та проектування мови, яка допомагає узагальнювати різні операції, що розробляються в арифметиці, де використовуються лише числа та їх основні математичні операції: додавання (+), віднімання (-), множення (х) та ділення (/).
Алгебраїчна мова характеризується своєю точністю, оскільки вона є набагато конкретнішою, ніж числова мова. За допомогою нього можна коротко висловити речення. Приклад: множина кратних 3 дорівнює (3, 6, 9, 12…) виражається 3n, де n = (1, 2, 3, 4…).
Це дозволяє виражати невідомі числа і виконувати з ними математичні операції. Наприклад, сума двох чисел виражається так: a + b. Підтримує вираження загальних числових властивостей та відношень.
Приклад: комутативна властивість виражається так: axb = bx a. Під час письма на цій мові невідомими величинами можна маніпулювати простими символами для запису, що дозволяє спростити теореми, сформулювати рівняння та нерівності та вивчити способи їх вирішення.
Алгебраїчні знаки та символи
В алгебрі в теорії множин використовуються як символи, так і знаки, які складають або представляють рівняння, ряди, матриці тощо. Букви виражаються або називаються змінними, оскільки одна і та ж буква використовується в інших задачах, і її значення знаходить різні змінні. Серед деяких класифікаційних алгебраїчних виразів є такі:
Алгебраїчні дроби
Алгебраїчний дріб відомий як той, який представлений часткою двох багаточленів, які демонструють поведінку, подібну до числових дробів. У математиці ви можете оперувати цими дробами, виконуючи множення та ділення. Отже, слід виразити, що алгебраїчна частка представлена часткою двох алгебраїчних виразів, де чисельник - це дивіденд, а знаменник - дільник.
Серед властивостей алгебраїчних дробів можна виділити, що якщо знаменник розділити або помножити на ту саму ненульову величину, дроб не зміниться. Спрощення алгебраїчного дробу полягає у перетворенні його у дріб, який більше не можна зменшувати, необхідний для множення поліномів, з яких складається чисельник і знаменник.
Класифікаційні алгебраїчні вирази відображаються у таких типах: еквівалентні, прості, правильні, неправильні, що складаються з чисельника або нульового знаменника. Тоді ми побачимо кожного з них.
Еквіваленти
Ви стикаєтесь із цим аспектом, коли поперечний добуток однаковий, тобто коли результат дробу однаковий. Наприклад, з цих двох алгебраїчних дробів: 2/5 та 4/10 будуть еквівалентними, якщо 2 * 10 = 5 * 4.
Простий
Це ті, в яких чисельник і знаменник представляють цілі раціональні вирази.
Власний
Вони являють собою прості дроби, у яких чисельник менше знаменника.
Неправильний
Вони являють собою прості дроби, у яких чисельник дорівнює або більший за знаменник.
Композитний
Вони утворені одним або кількома дробами, які можуть знаходитися в чисельнику, знаменнику або обох.
Нульовий чисельник або знаменник
Виникає, коли значення дорівнює 0. У випадку, якщо частка 0/0, вона буде невизначеною. При використанні алгебраїчних дробів для виконання математичних операцій слід враховувати деякі характеристики операцій із числовими дробами, наприклад, щоб почати найменший загальний кратний, потрібно знайти, коли знаменники мають різні цифри.
І при діленні, і при множенні операції виконуються і виконуються так само, як і з числовими дробами, оскільки їх потрібно попередньо спрощувати, коли це можливо.
Односільники
Мономалі - це широко використовувані алгебраїчні вирази, які мають константу, яка називається коефіцієнтом, і буквальну частину, яка представлена буквами і може бути піднята до різних ступенів. Наприклад, одночлен 2x² має коефіцієнт 2, а x² - буквальна частина.
Кілька разів буквальна частина може складатися з множення невідомих, наприклад у випадку 2xy. Кожна з цих букв називається невизначеною або змінною. Моном - це тип багаточлена з одним членом, крім того, існує можливість опинитися перед подібними одночленами.
Елементи одночленів
Дано одночлен 5x ^ 3; Розрізняють такі елементи:
- Коефіцієнт: 5
- Літеральна частина: x ^ 3
Добуток одночленів - це коефіцієнт, який відноситься до числа, що з’являється множенням буквальної частини. Зазвичай його ставлять на початку. Якщо добуток одночленів має значення 1, він не записується, і він ніколи не може бути нульовим, оскільки весь вираз має значення нуля. Якщо є щось, що ви повинні знати про мономіальні вправи, це таке:
- Якщо в мономі відсутній коефіцієнт, він дорівнює одиниці.
- Якщо будь-який доданок не має показника степеня, він дорівнює одиниці.
- Якщо будь-яка літеральна частина відсутня, але потрібна, вона розглядається з показником нуля.
- Якщо жодне з цього не збігається, то ви не маєте справу з одночленними вправами, ви навіть можете сказати, що те саме правило існує з вправами між поліномами та одночленами.
Додавання та віднімання одночленів
Щоб мати змогу проводити суми між двома лінійними одночленами, необхідно зберегти лінійну частину і додати коефіцієнти. При відніманні двох лінійних одночленів лінійна частина повинна підтримуватися, як і в сумах, щоб мати можливість відняти коефіцієнти, потім коефіцієнти множаться і показники степеня додаються з однаковими основами.
Множення одночленів
Це одночлен, коефіцієнт якого є добутком чи результатом коефіцієнтів, які мають буквальну частину, отриману шляхом множення степенів, які мають абсолютно однакову основу.
Поділ одночленів
Це не що інше, як інший одночлен, коефіцієнт якого є часткою отриманих коефіцієнтів, крім того, має буквальну частину, отриману з поділів між степенями, які мають абсолютно однакову основу.
Поліноми
Коли ми говоримо про поліноми, ми маємо на увазі алгебраїчну операцію додавання, віднімання та впорядкованого множення зі змінних, констант та показників. В алгебрі багаточлен може мати більше однієї змінної (x, y, z), констант (цілих чи дробових) та показників (які можуть бути лише додатними цілими числами).
Поліноми складаються із скінченних доданків, кожен доданок є виразом, що містить один або більше з трьох елементів, з якими вони складаються: змінні, константи або показники ступеня. Наприклад: 9, 9x, 9xy - це всі терміни. Інший спосіб ідентифікації термінів полягає в тому, що їх розділяють додаванням і відніманням.
Для розв’язання, спрощення, додавання або віднімання багаточленів вам потрібно об’єднати терміни з тими ж змінними, що і, наприклад, терміни з x, терміни з «y» та терміни, які не мають змінних. Крім того, важливо розглянути знак перед терміном, який визначатиме, додавати, віднімати чи множити. Терміни з однаковими змінними групуються, додаються або віднімаються.
Види багаточленів
Кількість доданків, які має поліном, буде вказувати, який це тип полінома, наприклад, якщо існує одночленний багаточлен, то він стоїть перед одночленом. Яскравим прикладом цього є одна з вправ на поліноми (8xy). Існує також двочленний багаточлен, який називається двочленом і ідентифікується за таким прикладом: 8xy - 2y.
Нарешті, поліном з трьох доданків, які відомі як триноми і ідентифікуються за допомогою однієї з поліноміальних вправ 8xy - 2y + 4. Триноми - це тип алгебраїчного виразу, утворений сумою або різницею трьох доданків або одночлени (подібні одночлени).
Важливо також говорити про ступінь багаточлена, оскільки якщо це одна змінна, це найбільший показник. Ступінь багаточлена з кількома змінними визначається доданком з найбільшим показником.
Додавання та віднімання многочленів
Сума багаточленів передбачає поєднання доданків. Подібні терміни стосуються одночленів, які мають однакову змінну або змінні, підняті до однакової міри.
Існують різні способи виконання поліноміальних обчислень, включаючи суму поліномів, які можна зробити двома різними способами: горизонтально та вертикально.
- Додавання багаточленів по горизонталі: воно використовується для виконання операцій по горизонталі, надмірність варта, але спочатку записується багаточлен, а потім слідує в тому ж рядку. Після цього записується інший поліном, який збирається додати або відняти, і нарешті, подібні терміни групуються.
- Вертикальна сума багаточленів: вона досягається написанням першого багаточлена впорядкованим способом. Якщо це неповно, важливо залишити прогалини відсутніх термінів вільними. Потім наступний поліном записується трохи нижче попереднього, таким чином, термін, подібний до наведеного вище, буде нижче. Нарешті кожен стовпець додається.
Важливо додати, що для додавання двох багаточленів необхідно додати коефіцієнти доданків однакового ступеня. Результатом додавання двох доданків одного ступеня є інший доданок того самого ступеня. Якщо в будь-якому з ступенів відсутній будь-який термін, його можна заповнити знаком 0. І вони, як правило, упорядковуються від вищого до найнижчого ступеня.
Як зазначалося вище, для виконання суми двох багаточленів необхідно лише додати доданки однакового ступеня. Властивості цієї операції складаються з:
- Асоціативні властивості: в яких сума двох багаточленів вирішується додаванням коефіцієнтів, що супроводжують х, що піднімаються до однакової потужності.
- Комутативна властивість: яка змінює порядок додавання, і результат неможливо вивести. Нейтральні елементи, усі коефіцієнти яких дорівнюють 0. Коли до нейтрального елемента додається багаточлен, результат дорівнює першому.
- Протилежна властивість: утворена поліномом, що має всі обернені коефіцієнти сукупних коефіцієнтів полінома. таким чином, при виконанні операції додавання результатом є нульовий поліном.
Що стосується віднімання багаточленів (операцій з поліномами), то обов’язково групувати мономи за ознаками, якими вони володіють, і починати із спрощення тих, що були подібними. Операції з поліномами виконуються шляхом додавання до мінусу протилежного віднімання.
Іншим ефективним способом продовження віднімання поліномів є запис протилежності кожного полінома нижче іншого. Таким чином, подібні мономи залишаються в стовпцях, і ми продовжуємо додавати їх. Незалежно від того, яка техніка виконується, зрештою, результат завжди буде однаковим, звичайно, якщо це зроблено правильно.
Множення многочленів
Множення одночленів або вправи між поліномами та одночленами - це операція, яка проводиться з метою знаходження отриманого добутку між мономом (алгебраїчний вираз, заснований на множенні числа та літерою, піднесеною до цілого і додатного показника) та іншою вираз, якщо це незалежний термін, інший одночлен або навіть багаточлен (скінченна сума одночленів та незалежних доданків).
Однак, як і майже у всіх математичних операціях, множення багаточленів також має ряд кроків, яких необхідно дотримуватися при вирішенні запропонованої операції, які можна узагальнити в таких процедурах:
Перше, що потрібно зробити, це помножити одночлен на його вираз (помножити знаки кожного з його доданків). Після цього значення коефіцієнта множаться, і коли значення знайдено в цій операції, додається літерал одночленів, знайдених у термінах. Потім кожен результат зазначається в алфавітному порядку і, нарешті, додається кожен показник, який знаходиться в базових літералах.
Поліноміальний поділ
Також відомий як метод Руффіні. Це дозволяє нам розділити багаточлен на біном, а також дозволяє знайти корені багаточлена, щоб розкласти його на двочлени. Іншими словами, цей прийом дає можливість розділити або розкласти алгебраїчний багаточлен ступеня n на алгебраїчний двочлен, а потім на інший алгебраїчний поліном ступеня n-1. А щоб це стало можливим, необхідно знати або знати хоча б одне з коренів унікального многочлена, щоб поділ був точним.
Це ефективна техніка ділення багаточлена на біном виду x - r. Правило Руффіні - це окремий випадок синтетичного ділення, коли дільник є лінійним фактором. Метод Руффіні був описаний італійським математиком, професором і лікарем Паоло Руффіні в 1804 році, який, крім винаходу відомого методу, званого правилом Руффіні, який допомагає знайти коефіцієнти результату дроблення багаточлена двочленний; Він також відкрив та сформулював цю методику наближеного обчислення коренів рівнянь.
Як завжди, коли мова йде про алгебраїчну операцію, правило Руффіні передбачає ряд кроків, які необхідно виконати, щоб отримати бажаний результат, у цьому випадку: знайти частку та залишок, властиві діленню будь-якого типу полінома і двочлен виду x + r.
Перш за все, починаючи операцію, вирази необхідно переглянути, щоб перевірити чи визначити, чи дійсно вони трактуються як поліноми та двочлени, що відповідають очікуваній формі методом правила Руффіні.
Після перевірки цих кроків поліном впорядковується (за спаданням). Після цього кроку враховуються лише коефіцієнти багаточленів (до незалежного), розміщуючи їх у ряд зліва направо. Деякі пробіли залишаються для необхідних доданків (лише у випадку неповного багаточлена). Знак камбузи розміщений зліва від ряду, який складається з коефіцієнтів полінома дивіденду.
У лівій частині галереї ми продовжуємо розміщувати незалежний доданок двочлена, який тепер є дільником, а його знак обернений. Незалежне множиться на перший коефіцієнт многочлена, реєструючи таким чином у другому рядку нижче першого. Потім другий коефіцієнт і добуток незалежного одночлена віднімаються від першого коефіцієнта.
Незалежний член двочлена множиться на результат попереднього віднімання. Але також він розміщується у другому ряду, що відповідає четвертому коефіцієнту. Операцію повторюють, поки не будуть досягнуті всі терміни. Третій рядок, отриманий на основі цих множень, приймається за фактор, за винятком останнього терміну, який буде вважатися залишком ділення.
Результат виражається, супроводжуючи кожен коефіцієнт змінної та ступінь, який їй відповідає, починаючи виражати їх із меншим ступенем, ніж той, який вони мали спочатку.
- Теорема про залишки: це практичний метод, що використовується для поділу багаточлена P (x) на іншого, форма якого xa; в якому отримується лише значення залишку. Щоб застосувати це правило, виконайте такі дії. Поліноміальний дивіденд записується без заповнення чи упорядкування, потім змінна х дивіденду замінюється на протилежне значення незалежного доданка дільника. І нарешті, операції вирішуються в комплексі.
Теорема про залишок - це метод, за допомогою якого ми можемо отримати залишок від алгебраїчного ділення, але в якому не потрібно робити ніякого ділення.
- Метод Руффіні: Метод або правило Руффіні - це метод, який дозволяє розділити багаточлен на біном, а також дозволяє визначити місце розташування коренів багаточлена на множник. Іншими словами, цей прийом дає можливість розділити або розкласти алгебраїчний багаточлен ступеня n на алгебраїчний двочлен, а потім на інший алгебраїчний поліном ступеня n-1. А щоб це стало можливим, необхідно знати або знати хоча б одне з коренів унікального многочлена, щоб поділ був точним.
- Поліноміальні корені: коріння багаточлена - це певні числа, які роблять поліном вартістю нуля. Можна також сказати, що повні корені многочлена цілих коефіцієнтів будуть дільниками незалежного доданка. Коли ми розв’язуємо поліном, рівний нулю, то отримуємо корені полінома як розв’язки. Як властивості коренів та множники многочленів можна сказати, що нулі чи корені багаточлена є дільниками незалежного доданка, що належить поліному.
Це дозволяє нам з’ясувати залишок від ділення багаточлена p (x) на інший вигляд xa, наприклад. З цієї теореми випливає, що багаточлен p (x) ділиться на xa лише в тому випадку, якщо a є коренем многочлена, лише тоді і лише тоді, коли p (a) = 0. Якщо C (x) - фактор, а R (x) - це залишок від ділення будь-якого полінома p (x) на біном, який буде (xa) числовим значенням p (x), для x = a він дорівнює залишку від його ділення на xa.
Тоді ми скажемо, що: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Загалом, щоб отримати залишок від ділення на Xa, зручніше застосовувати правило Руффіні, ніж замінювати x. Тому теорема про залишки є найбільш підходящим методом розв’язування задач.
У математичному світі правило Руффіні є ефективною технікою ділення багаточлена на біном виду x - r. Правило Руффіні - це окремий випадок синтетичного ділення, коли дільник є лінійним фактором.
Метод Руффіні був описаний італійським математиком, професором і лікарем Паоло Руффіні в 1804 р., Який крім винаходу відомого методу, званого правилом Руффіні, який допомагає знайти коефіцієнти результату дроблення полінома за двочленний; Він також відкрив та сформулював цю методику наближеного обчислення коренів рівнянь.
Тоді для кожного кореня, наприклад, типу x = a відповідає біном типу (xa). Виразити поліном у множниках можна, якщо виразити його як добуток або всі двочлени типу (xa), що відповідають корінню, x = a, що є результатом. Слід врахувати, що сума показників двочленів дорівнює ступеню багаточлена, слід також врахувати, що будь-який поліном, що не має незалежного доданка, визнає як корінь х = 0, іншим чином, він визнає як Х-фактор.
Ми будемо називати поліном "простим" або "Незводимим", коли немає можливості його розкласти на множники.
Щоб заглибитися в тему, ми повинні чітко усвідомити фундаментальну теорему алгебри, яка стверджує, що для багаточлена з непостійними змінними та комплексними коефіцієнтами досить мати стільки коренів, скільки їх ступінь, оскільки корені мають свої кратності. Це підтверджує, що будь-яке алгебраїчне рівняння ступеня n має n комплексних розв’язків. Поліном степеня n має максимум n дійсних коренів.
Приклади та вправи
У цьому розділі ми розмістимо кілька алгебраїчних виразів, розв’язані вправи з кожної з тем, висвітлених у цій публікації.
Вправи на алгебраїчні вирази:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Сума багаточленів
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Віднімання багаточленів
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Поліноміальний поділ
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 і
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Алгебраїчні вирази (двочленний квадрат)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Теорема про залишки
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Множення одночленів
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Поділ одночленів
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 та
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Додавання та віднімання одночленів
Вправа: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Рішення: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
