Число, яке може бути раціональним та ірраціональним, називається дійсним, тому ця сукупність чисел є об’єднанням множини раціональних чисел (дробів) та сукупності ірраціональних чисел (їх не можна виразити дробом). Дійсні числа охоплюють дійсну пряму, і будь-яка точка на цій прямій є дійсним числом, і вони позначаються символом R.
Характеристики дійсних чисел:
- Набір дійсних чисел - це набір усіх чисел, які відповідають точкам на прямій.
- Набір дійсних чисел - це набір усіх чисел, які можна виразити періодичними або неперіодичними нескінченними або скінченними десятковими числами.
Ірраціональні числа відрізняються від раціональних, маючи нескінченні десяткові знаки, які ніколи не повторюються, тобто вони не є періодичними. Тому їх не можна виставити як частку двох цілих чисел. Деякі ірраціональні числа відрізняються від інших чисел за допомогою символів. Наприклад: ℮ = 2,7182, π = 3,1415926535914039.
У дійсній лінії реальні числа символізуються, кожна точка рядка має дійсне число, а кожне дійсне число має точку на прямій, як наслідок, не можна говорити про наступне в дійсному числі, як у випадку натуральні числа. Раціональні числа розміщуються на числовій прямій таким чином, що в кожному розділі, яким би маленьким він не був, є нескінченності. Однак, як не дивно, є нескінченні прогалини, які заповнюються ірраціональними числами. Тому між будь-якими двома дійсними числами, X та Y існують раціональні нескінченності та ірраціональні нескінченності, між усіма ними вони заповнюють рядок.
Операції з дійсними числами:
Спосіб виконання операцій з дійсними числами залежить від способу представлення чисел. Якщо всі операнди є раціональними числами, операції виконуються з використанням дробів. Якщо вам доводиться функціонувати з ірраціональними, єдиним способом обробки точних значень є залишити їх як є. Якщо необхідно операціоналізувати чисельно, доведеться використовувати його десяткові подання, а оскільки вони є нескінченними десятковими числами, результат може бути наданий лише зблизька.
Апроксимація за замовчуванням або надлишком:
Наближення ірраціональних чисел у їх десятковому поданні може бути:
- За замовчуванням: якщо значення для апроксимації менше, ніж число.
- За надлишком: якщо значення для апроксимації більше
Наприклад, для числа π наближеннями за замовчуванням є 3 <3,1 <3,14 <3,141 і, перевищуючи 3,1416 <3,142 <3,15 <3,2. Наближення округлення або усічення:
Значущими цифрами є всі ті, які використовуються для вираження приблизного числа, є два способи наближення чисел:
Округленням: якщо перша незначима цифра дорівнює 0,1,2,3,4, попередня залишається незмінною, натомість, якщо вона становить 5,6,7,8,9, попередня цифра збільшується на одну одиницю, наприклад: 3, 74281 ≈ 3,74 та 4,29612 ≈ 4,30.
Апроксимація усічення: виключаються незначущі цифри, наприклад: 3.74281≈3.74 та 4.29612 ≈ 4.29.
Наукові позначення:
Коли ви хочете виразити дуже великі або дуже малі дійсні числа, використовуйте наукові позначення:
- Ціла частина складається з однієї цифри, яка не може бути 0.
- Усі інші значущі цифри записуються як десяткова частина.
- Потужність базових десять, що дає порядок величини числа.
Важливо підкреслити, що в наукових позначеннях, якщо показник показника позитивний, число велике, а якщо воно від’ємне, то число мало, наприклад: 6,25 х 1011 = 625 000 000 000.
